Corrigé n°4 - Construire le diagramme de distribution d'un couple acide-base

Q1. L'énoncé donne le titre massique en acide lactique de cette solution : il vaut \(t=\frac{1,75\text{g}}{100\text{g}}=0,0175=1,75\text{%}\).

Vérifions maintenant la concentration en quantité de matière correspondante.

On a par définition `C_\text{soluté}=\frac{n_\text{soluté}}{V_\text{solution}}`, or `n_\text{soluté}=\frac{m_\text{soluté}}{M_\text{soluté}}` et `V_\text{solution}=\frac{m_\text{solution}}{\rho_\text{solution}}`.

Donc il vient `C_\text{soluté}=\frac{\frac{m_\text{soluté}}{M_\text{soluté}}}{\frac{m_\text{solution}}{\rho_\text{solution}}}=\frac{m_\text{soluté}\times \rho_\text{solution}}{m_\text{solution}\times M_\text{soluté}}` .

Or `t_\text{soluté}=\frac{m_\text{soluté}}{m_\text{solution}}`, donc il vient bien `C_\text{soluté}=\frac{t_\text{soluté}\times \rho_\text{solution}}{M_\text{soluté}}`.

Ici, `C=\frac{\frac{1,75}{100}\times 1,00text{ g}\cdot\text{mL}^{-1}}{90,1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}}=1,9\times10^{-4}\text{ mol}\cdot\text{mL}^{-1}=1,9\times10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}` qui est bien voisine de la concentration donnée.

Q2. Un acide de Brönsted est une espèce chimique dont l’entité est susceptible de céder au moins un ion hydrogène H⁺.

Q3. Si l'acide lactique était un acide fort, alors il serait totalement dissocié dans l'eau : la concentration en soluté apporté serait égale à la concentration en ion oxonium à l'état final.

Or, par définition on a  \(\text{pH}=-\text {log}(\frac{\text [\text{H}_3\text{O}^+]}{\text{c}^\text{o}})\).

Donc si l'acide lactique était un acide fort, on aurait  \(\text{pH}=-\text {log}(\frac{1,9\times10^{-\text{1}}\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}}{1\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}})=0,72\).

Ce pH est très différent de celui mesuré expérimentalement donc l'acide lactique n'est pas un acide fort : c'est un acide faible.

Q4.  L'acide lactique réagit avec l'eau selon une transformation chimique modélisée par la réaction acide-base d'équation : \(\mathrm{AH(aq)+H_2O(\ell)\rightleftarrows A^-(aq)+H_3O^+(aq)}\).

Q5. [Travail au brouillon] 
À l'état initial, seul l'acide lactique est présent à une quantité de matière égale à \(n_{\mathrm{AH,i}}=C\times V\), l'eau est en excès et on n'a pas encore formé des produits (on néglige l'autoprotolyse de l'eau).

À l'état final, on a \(x_\mathrm{f}=n_\mathrm{A^-,f}=n_\mathrm{H_3O^+,f}=\mathrm{[H_3O^+]_f}\times V\).
Par définition, \(\text{pH}=-\text {log}(\frac{\text [\text{H}_3\text{O}^+]}{\text{c}^\text{o}})\)  donc \(-\text{pH}=\text {log}(\frac{\text [\text{H}_3\text{O}^+]}{\text{c}^\text{o}})\). Pour supprimer la fonction logarithme décimale, on utilise sa fonction réciproque, soit la fonction puissance de 10, que l'on applique des deux côtés de l'équation :  \(10^{-\text{pH}}=10^{\text {log}(\frac{\text [\text{H}_3\text{O}^+]}{\text{c}^\text{o}})}=\frac{[\text{H}_3\text{O}^+]}{\text{c}^\text{o}}\). 

On a donc \([\text{H}_3\text{O}^+]=\text{c}^\text{o}\times10^{-\text{pH}}\) donc il vient \(x_\mathrm{f}=n_\mathrm{A^-,f}=n_\mathrm{H_3O^+,f}=\text{c}^\text{o}\times10^{-\text{pH}}\times V\).

Enfin, on a \(n_\mathrm{AH,f}=n_\mathrm{AH,i}-x_\mathrm{f}=C\times V-\text{c}^\text{o}\times10^{-\text{pH}}\times V\) soit \(n_\mathrm{AH,f}=(C-\text{c}^\text{o}\times10^{-\text{pH}})\times V\).

Réponse sur l'annexe à rendre avec la copie :

Q6. Le quotient de réaction à l'état d'équilibre du système est donc :
\(Q_\text{r,éq}=\frac{(a_\mathrm{A^-(aq),éq})^{1}\times(a_\mathrm{H_3O^+(aq),éq})^{1}}{(a_\mathrm{AH(aq),éq})^{1}\times(a_\mathrm{H_2O(\ell),éq})^{1}}\) soit \(Q_\text{r,éq}=\frac{\frac{[\mathrm{A^-]_{éq}}}{\text{c°}}\times\frac{[\mathrm{H_3O^+]_{éq}}}{\text{c°}}}{\frac{[\mathrm{AH]_{éq}}}{\text{c°}}\times1}=\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}\times \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}\times{\text{c°}}}\) 

Par définition de la constante d'acidité : \(\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}\times \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\) donc il vient, en remplaçant par les expressions trouvées précédemment :

 \(\frac{{\frac{c°\times10^{-pH}\times V}{V}\times {\frac{c°\times10^{-pH}\times V}{V}}}}{\frac{(C-c°\times10^{-pH})\times V}{V}\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\),

soit \(\frac{(c°\times10^{-pH})^2}{{(C-c°\times10^{-pH})}\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\), donc \(K_\text{A}=\frac{c°\times(10^{-pH})^2}{{C-c°\times10^{-pH}}}\).

Ainsi, on a : \(K_\text{A}=\frac{1\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\times(10^{-2,3})^2}{{1,9\times10^{-1}\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}-1\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\times10^{-2,3}}}=1,4\times10^{-4}\).

On a \(\mathrm{pK_A=-log(}K_\text{A})\) soit \(\mathrm{pK_A=-log(1,4\times10^{-4}})=3,9\).

On retrouve bien la valeur de référence.

Q7.1 L'acide lactique est un acide faible, il se transforme partiellement en sa base conjuguée. Par conservation de la matière, la concentration en soluté apporté est donc égale à la somme de la concentration à l'état final en acide lactique et celle de l'ion lactate : \(C=\mathrm{[AH]_{éq}}+\mathrm{[A^-]_{éq}}\).

D'après la question précédente, on a \(\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}\times \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\).

En appliquant la fonction logarithme décimal des deux côtés de l'équation, on trouve :

\(\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}\times \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}\times{\text{c°}}})=\mathrm{log}(K_\text{A})\), soit \(\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}})+\mathrm{log}(\frac{{ \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{{\text{c°}}})=\mathrm{log}(K_\text{A})\).

En prenant l'opposé de tous les termes, il vient \(-\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}})-\mathrm{log}(\frac{{ \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{{\text{c°}}})=-\mathrm{log}(K_\text{A})\).

On rappelle que, par définition :

•  \(\mathrm{pH} =-\mathrm{log}(\frac{{ \mathrm{[H_3O^+]_{éq}}}}{{\text{c°}}})\) ;
• \(\mathrm{pK_A}=-\mathrm{log}(K_\text{A})\).
  

On a donc \(-\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[A^-]_{éq}}}{[\mathrm{AH]_{éq}}})+\mathrm{pH}=\mathrm{pK_{A}}\) et on retrouve bien la relation demandée : \(\mathrm{pH=pK_A+log(\frac{[A^-]_{éq}}{[AH]_{éq}})}\).

Q7.2  Pour le couple \(\mathrm{AH/A^-}\), le pourcentage en acide est \(\mathrm{\text{%}_{{AH}}}=\frac{\mathrm{[AH]_{éq}}}{C}\) .

On a d'après la question précédente que \(\mathrm{pH=pK_A+log(\frac{[A^-]_{éq}}{[AH]_{éq}})}\). 

En introduisant les pourcentages de chaque espèce à l'équilibre dans cette expression, il vient :  \(\mathrm{pH=pK_A+log(\mathrm{\frac{\text{%}_{{A^-}}}{\text{%}_{{AH}}}})}\) donc \(\mathrm{ log({\frac{\text{%}_{{A^-}}}{\text{%}_{{AH}}}}})=\mathrm{pH-pK_A}\) soit  \(\mathrm{\mathrm{\frac{\text{%}_{{A^-}}}{\text{%}_{{AH}}}}=10^{pH-pK_A}}\).

Ainsi, le rapport des pourcentages en base et en acide est \(\mathrm{\text{%}_{{A^-}}={\text{%}_{{AH}}}\times10^{pH-pK_A}}\).

De plus, on a \(\mathrm{\text{%}_{{A^-}}+\text{%}_{{AH}}=100}\).

En combinant les deux relations ci-dessus, il vient : \(\mathrm{\mathrm{{\text{%}_{{AH}}}\times10^{pH-pK_A}}+\text{%}_{{AH}}=100}\) .

Donc le pourcentage en acide lactique dans la solution est \(\mathrm{{\text{%}_{{AH}}=\frac{100}{1+10^{pH-pK_A}}}}\).

Q7.3 Plaçons-nous à pH = 1. On a alors \(\mathrm{{\text{%}_{{AH}}=\frac{100}{1+10^{1-3,9}}}}=99,9 \text{%}\), donc la courbe 1 correspond à celle de l'acide lactique qui représente quasiment 100 % de l'espèce du couple présente.

Pour déterminer la valeur du potentiel de la constante d'acidité, prenons une solution tampon équimolaire d'acide lactique et d'ion lactate. On a alors \(\mathrm{[AH]_{éq}}=\mathrm{[A^-]_{éq}}\), donc  \(\mathrm{pH=pK_A+log(1)}\) soit \(\mathrm{pH=pK_A}\). À l'intersection des courbes sur le diagramme de distribution du couple, le pH mesuré est donc égal au \(\mathrm{pK_A}\) du couple.